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地震震级敏感因子众多，单一的数学公式很难表达这种复杂的非线性关系，近年来，许多专家学者进行了大量的探索。李龙师等[1]利用改进的层次分析法和模糊评判法评估了水库诱发地震震级上限；吴清等[2]采用统计学原理对烈度估计线进行统计回归并建立烈度分布模型，利用该模型对历史震级进行了估算；刘家豪等[3]利用类比法、概率统计检验法、综合影响参数预测法等对水库诱发地震震级进行了整体和分区预测。以上方法均取得了良好的效果，但模型预测依赖主观经验，导致预测精度较低。针对上述问题，神经网络等机器学习算法应运而生，并迅速应用于地震震级预测。苏义鑫等[4]提出了一种基于神经网络与改进粒子群算法的地震预测方法；陈一超等[5]将遗传算法和具有深度搜索能力的BP算法相结合实现地震震级预测；项月文等[6]构建GA-BP神经网络模型，并以东南沿海地区的地震目录作为研究样本进行了预测。而BP神经网络易陷入局部最优，还需探索更为有效的科学方法。
广义回归神经网络（General Regression Neural Network，GRNN）是典型的前馈式局部逼近神经网络，运行效率高，且不易陷入局部最优。韩晓飞等[7]利用GRNN选取了100组样本数据进行仿真实验；王威等[8]基于广义回归神经网络建立了地下管道地震反应预测模型，并对地下管道抗震性能影响因素进行敏感性分析，均取得了良好效果，但GRNN模型参数不易收敛，还需探索更加科学的寻优方法。遗传算法具有较强的全局搜索能力，周德红等[9]利用遗传算法对BP神经网络的权值与阀值进行优化，建立了地震死亡人数预测模型。郭小东等[10]利用遗传算法自动确定ν-SVR的最优模型参数，建立了建筑物液化震陷量与其各种影响因素之间的非线性关系，表明遗传算法能够改善模型的寻优效果。因此，本文选取遗传算法全局搜索GRNN最优参数，同时为了进一步降低模型整体复杂度，运用主成分分析法对地震数据进行降维处理，该方法已广泛应用于地震信号检测[11]、断层识别[12]和地震砂土液化预测[13]等。基于此，本文建立了基于PCA-GA-GRNN的地震震级预测模型，首先利用地震震级敏感因子进行降维处理，然后运用GA寻优获得GRNN最优光滑因子，并对8个测试样本进行预测，取得了一定的效果。
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遗传算法[14-15]是一种汲取自然进化基本思想寻求最优解的方法，有较强的全局优化特性和全局搜索能力。主要步骤如图1所示：
图 1 遗传算法流程图
Figure 1. The flow chart of GA
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GRNN理论分析如下[16-18]，设随机变量x和y的观测值分别为X和Y，其联合概率密度函数为f（x,y），则Y的预测输出
$ \hat {\boldsymbol Y} $ 为：$${\boldsymbol Y}_{id}^{k + 1} = {\boldsymbol Y}_{id}^k + {\boldsymbol V}_{id}^{k + 1} $$ (1) $$ {\hat {\boldsymbol Y}} = E(y/{\boldsymbol X}) = \frac{{\displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {yf({\boldsymbol X},y){\rm d}y} }}{{\displaystyle\int_{ - \infty }^{ + \infty } {f({\boldsymbol X},y){\rm d}y} }} $$ (2) 假设f（x,y）服从正态分布，则有：
$$ \begin{aligned} {\hat f} ({\boldsymbol X},y) =& \frac{1}{{n{{(2{\text{π )}}}^{\frac{{p + 1}}{2}}}{\sigma ^{p + 1}}}}\sum\limits_{i = 1}^n {\exp } \\& \left[ { - \frac{{{{({\boldsymbol X} - {X_i})}^{\text{T}}}({\boldsymbol X} - {X_i})}}{{2{\sigma ^2}}}} \right]\exp \left[ { - \frac{{{{({\boldsymbol X} - {Y_i})}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right] \\ \end{aligned} $$ (3) 式中：
$ {X_i} $ 和$ {Y_i} $ 分别为x和y的样本观测值；X为输入变量；n为样本数量；p为随机变量x的维度；$ \sigma $ 为光滑因子。将$ {\hat f} ({\boldsymbol X},y) $ 代替f（x,y）代入式(3)得下式：$$ {\hat {\boldsymbol Y}} ({\boldsymbol X}) = \frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{\boldsymbol Y}_i}\exp \left[ { - \frac{{{{(X - {X_i})}^{\text{T}}}(X - {X_i})}}{{2{\sigma ^2}}}} \right]} }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {\exp \left[ { - \frac{{{{(X - {X_i})}^{\text{T}}}(X - {X_i})}}{{2{\sigma ^2}}}} \right]} }} $$ (4) GRNN的网络结构由以下4个步骤实现。
1）输入层。该层神经元个数对应输入变量xi即主成分个数，本文将PCA降维得到的4个主成分作为GRNN模型输入变量，因此输入层神经元个数为4。
2）模式层。该层神经元个数等于训练样本的数量。每个神经元传递函数为：
$$ {P_i} = \exp \left[ { - \frac{{{{(X - {X_i})}^{\text{T}}}(X - {X_i})}}{{2{\sigma ^2}}}} \right]{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 1,2, \cdots ,n $$ (5) 3）求和层。该层由2种求和方式，一种是算数求和
$ {S_D} $ ，另一种是加权求和$ {S_{Nj}} $ ，传递函数分别为：$$ {S_D} = \sum\nolimits_{i = 1}^n {{P_i}} {\kern 1pt} $$ (6) $$ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {S_{Nj}} = \sum\nolimits_{i = 1}^n {{y_{ij}}{P_i}{\kern 1pt} } $$ (7) 式中：
$ {P_i} $ 为模式层第i个神经元的传递函数；$ {y_{ij}} $ 为模式层第i个神经元与求和层第j个分子求和神经元连接权值。4）输出层。该层神经元个数只有1个，即地震震级。将
$ {S_{Nj}} $ 与$ {S_D} $ 相除，可得输出结果。$$ {y_i} = \frac{{{S_{Nj}}}}{{{S_D}}} $$ (8) -
基于PCA-GA-GRNN的地震震级预测模型构建流程图如图2所示。
图 2 PCA-GA-GRNN模型流程图
Figure 2. The flow chart of PCA-GA-GRNN
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通过查阅文献并结合前人经验选取文献[19]的地震数据作为研究样本，随机选取20个地震样本作为学习样本，剩余8个样本作为测试样本，地震样本归一化数据如表1所示，其中敏感因子为：半年内M≥3的地震累计频度、半年内能量释放积累值、b值(震级和频度关系式中的比例系数)、平均震级（某一次地震中主震和余震的平均值）、η值（震级-频度关系偏离G-R关系式的程度）及相关地震区地震震级（某地震活动区特定时间段内中所发生的除主震之外的最大地震震级）。这些因子反映了地震活动在时空和强度2个方面的特征，具有较好的中期或中短期预测效果。
表 1 归一化地震数据
Table 1. Normalized seismic data
序号 地震累积频度 累积释放能量 平均震级 η值 b值 相关区震级 实际震级 1 0.139 5 0 0 0.098 6 0.390 8 0 0 2 0.085 6 0.000 1 0.166 7 0.251 6 0.630 5 0.25 0.138 6 3 0.090 2 0.000 6 0.5 0.203 1 0.501 4 0.35 0.310 8 4 0.230 8 0.000 6 0 0.528 6 0.947 5 0.10 0.345 2 5 0 0.000 8 0.333 3 0.490 3 0.240 1 0.45 0.344 8 6 0.227 6 0.002 3 0.5 0.118 9 0.100 3 0.30 0.447 6 7 0.140 4 0 0 0.068 7 0.652 0 0.05 0.072 0 8 0 0 0 0.323 0 0.791 8 0.05 0 9 0.174 2 0.005 8 0.5 0.498 6 0.727 5 0.30 0.310 3 10 0.086 2 0.000 6 0.5 0.205 2 0.510 3 0.35 0.310 8 11 0.968 3 0.001 7 0.666 7 0 0.985 7 1 0.344 8 12 0 0.001 9 1 0 0.400 5 0.35 0.448 3 13 0.160 3 0.110 5 0.666 7 0.650 1 0.084 2 1 0.793 1 14 0 0 0 0.319 5 0.810 6 0.05 0 15 0.079 9 0 0 0.321 8 0.809 2 0.05 0.140 2 16 0.219 3 0.005 0 0.5 0.208 2 0.438 5 0.55 0.380 2 17 0.908 5 0.981 4 0.833 3 0.401 2 0.620 3 0.80 1 18 0.053 1 0.074 2 0.666 7 0.783 1 0 0.95 0.758 6 19 0.168 7 0.000 5 0.5 0.051 2 0.740 1 0.30 0.310 3 20 0.040 2 0.000 6 0 0.987 1 0.240 2 0.30 0.344 8 21 0.099 6 0.000 7 0.5 0.013 1 0.837 6 0.30 0.345 2 22 0.140 4 0.019 5 0.333 3 0.648 5 0.330 1 0.50 0.655 2 23 0.227 6 0.000 7 0 0.532 1 0.953 1 0.10 0.345 2 24 0.158 3 0.000 9 0.5 0.013 2 0.850 1 0.30 0.379 3 25 0.230 5 0.001 7 0.5 0.121 5 0.962 1 0.30 0.448 3 26 0.460 3 0.003 2 0.333 3 0.330 5 0.621 3 0.55 0.482 8 27 0.140 4 0 0 0.075 9 0.641 7 0.05 0.069 0 28 0.140 4 0 0 0.101 3 0.389 0 0 0 -
利用PCA[20-22]对6个敏感因子进行相关性分析和降维处理，相关系数矩阵见表2，归一化特征值，各成分贡献率和累计贡献率见表3。由表3可以发现前4个主成分的累计贡献率为93.744%，涵盖了原始数据的主要信息，其中4个主成分的表达式见式(9)。
表 2 相关系数阵
Table 2. Correlation coefficient matrix
累积释放能量 地震累积频度 平均震级 η值 b值 相关区震级 累积释放能量 1 0.594 0.367 0.14 0.043 0.384 地震累积频度 0.594 1 0.355 −0.143 0.286 0.526 平均震级 0.367 0.355 1 −0.14 −0.232 0.743 η值 0.14 −0.143 −0.14 1 −0.396 0.283 b值 −0.043 0.286 −0.232 −0.396 1 −0.352 相关区震级 0.384 0.526 0.743 0.283 −0.352 1 表 3 归一化特征值、贡献率和累计贡献率
Table 3. Normalized eigenvalue, contribution rate and cumulative contribution rate
成分 归一化特征值 贡献率/% 累计贡献率/% Y1 2.528 42.14 42.14 Y2 1.614 26.9 69.04 Y3 0.957 15.944 84.985 Y4 0.526 8.759 93.744 Y5 0.314 5.237 98.981 Y6 0.061 1.019 100 $$ \begin{aligned} {Y_1} = &0.281S{{1}} + 0.279S{{2}} + 0.314S{{3}} + 0.063S{\text{4}} +\\& 0.155S{{5 - }}0.101S{\text{6}} \\ {Y_2} = &0.11S{\text{1}} + 0.341S{\text{2 + }}0.007S{{3}} - 0.452S{{4 + }}\\&0.518S{{5}} - 0.135S{\text{6}} \\ {Y_3} =& 0.47S{\text{1 + }}0.268S{\text{2 - }}0.55S{\text{3}} + 0.615S{\text{4 + }}\\&0.23S{{5 - }}0.14S{\text{6}} \\ {Y_4} =& - 0.927S{\text{1 + }}0.285S{\text{2 - }}0.015S{\text{3}} + 0.488S{\text{4 + }}\\&0.595S{\text{5}} + 0.609S{\text{6}} \\ \end{aligned} $$ (9) 其中：S1为累积释放能量；S2为地震累积频度；S3为平均震级；S4为η值；S5为b值；S6为相关区震级。
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采用遗传算法确定GRNN的光滑因子，设置种群数量n=20，终止代数为100，GA寻优过程见图3，确定GRNN的最优光滑因子δ=3.457，并对学习样本进行回判检验（图4）。
图 3 GA寻优
Figure 3. GA optimization
图 4 学习样本回判结果
Figure 4. Learning sample feedback results
由图4可以看出，预测准确率平均水平达89.2%，因此该模型可以用于测试样本的预测。
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为验证模型的适用性，在保证相同学习样本的前提下，PCA-GA-GRNN采用降维后的主成分数据作为输入向量；而GSM-GRNN模型和GRNN模型的学习样本未经PCA降维处理。3种模型同时对测试样本进行预测，利用预测值与实际值的绝对误差与真实值之比乘以100%求出相对误差，所得的预测结果见表4。
表 4 三种模型预测结果对比
Table 4. Comparison of prediction results of three models
编号 实际值 GRNN模型 GA-GRNN模型 PCA-GA-GRNN模型 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 21 5.4 5.8 7.407 4 5.1 5.556 0 5.3 1.852 0 22 5.2 4.9 5.769 0 5.6 7.692 3 5.0 3.846 0 23 7.0 7.4 5.714 3 6.5 7.143 0 7.2 2.857 1 24 5.1 4.7 7.843 0 5.4 5.882 4 5.0 1.961 0 25 6.4 6.0 6.250 0 6.8 6.250 0 6.3 1.563 0 26 5.0 5.4 8.000 0 5.4 8.000 0 5.1 2.000 0 27 4.1 4.6 12.195 1 4.5 9.756 1 4.3 4.878 0 28 4.5 5.1 13.333 3 5.0 11.111 1 4.6 2.222 2 由表4可以看出，GRNN模型的最小误差、最大误差和平均误差分别为5.714 3%、13.333 3%和8.314 0%；GA-GRNN模型的最小误差、最大误差和平均误差分别为5.882 4%、11.111 1%和7.674 0%；PCA-GA-GRNN模型的最小误差、最大误差和平均误差分别为1.563 0%、4.878 0%和2.647 0%。因此PCA-GA-GRNN模型预测结果平均误差相比于GA-GRNN模型和GRNN模型分别降低5.666 7%和5.026 4%，同时PCA-GA-GRNN模型由于进行了主成分降维处理和遗传算法的优化，能够明显提高运行效率，降低模型复杂度。
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1) 采用PCA对影响地震震级的6个敏感因子进行降维处理，模型输入维度由6维降至4维，使模型运行效率明显提高，模型结构得以简化。
2) 利用GA寻优得到最优光滑因子δ=3.457，建立了基于PCA-GA-GRNN的地震震级预测模型，并对测试样本进行预测，同时与GRNN模型和GA-GRNN模型的预测结果进行对比，结果表明PCA-GA-GRNN模型预测结果平均误差相比于GA-GRNN模型和GRNN模型分别降低5.666 7%和5.026 4%，可以为地震震级预测提供参考。
The Prediction Model of Earthquake Magnitude Based on GA-GRNN
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摘要: 为科学描述地震震级与其敏感因子之间复杂的非线性关系，将遗传算法（Genetic Algorithm，GA）与广义回归神经网络（General Regression Neural Network，GRNN）相结合，利用主成分分析法（Principal Component Analysis，PCA）对地震震级敏感因子进行降维处理，然后对提取出的主成分进行归一化，将归一化的主成分数据作为预测模型的输入向量，地震震级作为预测模型的输出向量；以20个地震数据作为学习样本进行训练，运用GA寻优获得最优光滑因子，建立基于PCA-GA-GRNN的地震震级预测模型，并对8个测试样本进行预测。结果表明：PCA-GA-GRNN模型的最小误差、最大误差和平均误差分别为1.563 0%、4.878 0%和2.647 0%，其平均误差相比于GA-GRNN模型和GRNN模型分别降低5.666 7%和5.026 4%，具有较高的预测精度。Abstract: In order to describe the complex nonlinear relationship between earthquake magnitude and its sensitive factor, the genetic algorithm ( GA ) combined with general regression neural network ( GRNN ), and the principal component analysis ( PCA ) were used to reduce the dimension of earthquake sensitive factor. Then normalizing the extracted principal components which were used as input vectors of general regression neural network, and earthquake magnitude was used as output vector, 20 typical cases of earthquake magnitude were used for training data, then using GA to optimize the best smooth factor, finally the prediction model for earthquake magnitude based on PCA-GA-GRNN was established, and it was used to predict 8 prediction samples. The result shows that the minimum error, maximum error and average error of PCA-GA-GRNN model were 51.5630%、4.8780% and 2.647% respectively. Compared with GSM-GRNN model and GRNN model, the average error of PCA-GA-GRNN model is reduced by 5.6667% and 5.0264%, respectively. Therefore, PCA-GA-GRNN model has higher prediction accuracy.
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表 1 归一化地震数据
Table 1. Normalized seismic data
序号 地震累积频度 累积释放能量 平均震级 η值 b值 相关区震级 实际震级 1 0.139 5 0 0 0.098 6 0.390 8 0 0 2 0.085 6 0.000 1 0.166 7 0.251 6 0.630 5 0.25 0.138 6 3 0.090 2 0.000 6 0.5 0.203 1 0.501 4 0.35 0.310 8 4 0.230 8 0.000 6 0 0.528 6 0.947 5 0.10 0.345 2 5 0 0.000 8 0.333 3 0.490 3 0.240 1 0.45 0.344 8 6 0.227 6 0.002 3 0.5 0.118 9 0.100 3 0.30 0.447 6 7 0.140 4 0 0 0.068 7 0.652 0 0.05 0.072 0 8 0 0 0 0.323 0 0.791 8 0.05 0 9 0.174 2 0.005 8 0.5 0.498 6 0.727 5 0.30 0.310 3 10 0.086 2 0.000 6 0.5 0.205 2 0.510 3 0.35 0.310 8 11 0.968 3 0.001 7 0.666 7 0 0.985 7 1 0.344 8 12 0 0.001 9 1 0 0.400 5 0.35 0.448 3 13 0.160 3 0.110 5 0.666 7 0.650 1 0.084 2 1 0.793 1 14 0 0 0 0.319 5 0.810 6 0.05 0 15 0.079 9 0 0 0.321 8 0.809 2 0.05 0.140 2 16 0.219 3 0.005 0 0.5 0.208 2 0.438 5 0.55 0.380 2 17 0.908 5 0.981 4 0.833 3 0.401 2 0.620 3 0.80 1 18 0.053 1 0.074 2 0.666 7 0.783 1 0 0.95 0.758 6 19 0.168 7 0.000 5 0.5 0.051 2 0.740 1 0.30 0.310 3 20 0.040 2 0.000 6 0 0.987 1 0.240 2 0.30 0.344 8 21 0.099 6 0.000 7 0.5 0.013 1 0.837 6 0.30 0.345 2 22 0.140 4 0.019 5 0.333 3 0.648 5 0.330 1 0.50 0.655 2 23 0.227 6 0.000 7 0 0.532 1 0.953 1 0.10 0.345 2 24 0.158 3 0.000 9 0.5 0.013 2 0.850 1 0.30 0.379 3 25 0.230 5 0.001 7 0.5 0.121 5 0.962 1 0.30 0.448 3 26 0.460 3 0.003 2 0.333 3 0.330 5 0.621 3 0.55 0.482 8 27 0.140 4 0 0 0.075 9 0.641 7 0.05 0.069 0 28 0.140 4 0 0 0.101 3 0.389 0 0 0 
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表 2 相关系数阵
Table 2. Correlation coefficient matrix
累积释放能量 地震累积频度 平均震级 η值 b值 相关区震级 累积释放能量 1 0.594 0.367 0.14 0.043 0.384 地震累积频度 0.594 1 0.355 −0.143 0.286 0.526 平均震级 0.367 0.355 1 −0.14 −0.232 0.743 η值 0.14 −0.143 −0.14 1 −0.396 0.283 b值 −0.043 0.286 −0.232 −0.396 1 −0.352 相关区震级 0.384 0.526 0.743 0.283 −0.352 1
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表 3 归一化特征值、贡献率和累计贡献率
Table 3. Normalized eigenvalue, contribution rate and cumulative contribution rate
成分 归一化特征值 贡献率/% 累计贡献率/% Y1 2.528 42.14 42.14 Y2 1.614 26.9 69.04 Y3 0.957 15.944 84.985 Y4 0.526 8.759 93.744 Y5 0.314 5.237 98.981 Y6 0.061 1.019 100
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表 4 三种模型预测结果对比
Table 4. Comparison of prediction results of three models
编号 实际值 GRNN模型 GA-GRNN模型 PCA-GA-GRNN模型 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 预测值 相对误差/% 21 5.4 5.8 7.407 4 5.1 5.556 0 5.3 1.852 0 22 5.2 4.9 5.769 0 5.6 7.692 3 5.0 3.846 0 23 7.0 7.4 5.714 3 6.5 7.143 0 7.2 2.857 1 24 5.1 4.7 7.843 0 5.4 5.882 4 5.0 1.961 0 25 6.4 6.0 6.250 0 6.8 6.250 0 6.3 1.563 0 26 5.0 5.4 8.000 0 5.4 8.000 0 5.1 2.000 0 27 4.1 4.6 12.195 1 4.5 9.756 1 4.3 4.878 0 28 4.5 5.1 13.333 3 5.0 11.111 1 4.6 2.222 2
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